学院:理学院
加试科目:实变函数
一、集合
考查内容
1.集合及其运算。
2.集合的势。
3.n维空间中的点集。
考查要求
1.熟练掌握集合的并、交、差(补)运算和对偶原理;掌握上极限、下极限的定义及其等价表述。
2.掌握映射、对等、集合势等概念,会用Bernstein 定理讨论集合的势,会比较集合势的大小。
3.掌握可数集概念与性质,会证[0,1]点集不可数,掌握具有连续势的集,幂集及其势。
4. 掌握聚点、内点、边界点、导集、闭包、开集、闭集、完备集的概念与相关性质。
5. 了解直线上开、闭集及完备集的构造,了解Cantor集。
二、测度论
考查内容
1.外测度与可测集。
2.Lebesgue可测集的结构。
考查要求
1.理解掌握(L) 外测度概念与性质,知道可列集的测度为零,区间的测度等于其体积。
2.理解可测集的 Caratheodory 条件,可测集的概念与性质。
3.了解 型集、 型集以及波雷尔集的定义,掌握可测集类、可测集与开集、闭集的关系及可侧集结构;了解当 时, 中必有不可测集存在。
三、可测函数
考查内容
1.可测函数的定义及其性质。
2.可测函数的逼近定理。
考查要求
1.掌握可测函数概念及等价表述,掌握可测函数对代数、极限运算封闭等重要性质;
掌握命题在点集几乎处处成立概念;掌握简单函数及函数在点集连续的概念。
2.掌握可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系;掌握Egoroff 定理。
3.掌握可测函数结构,Lusin 定理。
4.掌握依测度收敛、几乎处处收敛及(基本)一致收敛三者的关系。
四、Lebesgue积分
考查内容
1.可测函数的积分。
2.Lebesgue积分的极限定理。
3.Fubini定理。
考查要求
1.理解简单函数的Lebesgue积分、一般可测函数的Lebesgue积分及无界集上的Lebesgue积分的概念。
2.掌握Lebesgue积分的基本性质并会应用基本性质计算。
3.理解Lebesgue积分的三大定理(Levi定理、Fatou引理及Lebesgue控制收敛定理),会应用Lebesgue积分的三大定理证明和计算。
4.理解Lebesgue积分与黎曼积分的区别与联系。
5.了解(L)积分的几何意义,会陈述并应用重积分化累次积分的Fubini 定理。
6.掌握绝对连续函数概念;(L)不定积分与绝对连续函数的关系;Newton-Leibniz公式成立的充要条件。
参考书目:(选择其一)
1.《实变函数论与泛函分析》,曹广福编,第三版(上册),高等教育出版社,2011;
2.《实变函数论与泛函分析》,夏道行等编,第二版,高等教育出版社,2009;
3.《实变函数论》,江泽坚编,第二版,高等教育出版社,2001;
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