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应用数学——专业综合

考试基本要求

第一部分 数学物理方程

一、一维波动方程

要求掌握： 一维波动方程的建立;定解问题的提出;齐次方程混合问题的Fourier解法(分离变量法);电报方程;强迫振动，非齐次方程的求解。

二、热传导方程

要求掌握：热传导方程的建立;热传导方程的Fourier级数解;初值问题的Fourier积分解;一端有界的热传导问题。

三、调和方程圆的边值问题

要求掌握：圆的Dirichlet问题的提法; Fourier级数解; 函数的引入、性质

四、波动方程

要求掌握：初值问题达D’Alembert解的提出;解的物理意义;依赖区间、决定区域和影响区域。高维波动方程的初值问题;降维法;解的物理意义;非齐次波动方程;推迟势。

五、调和方程解的积分公式

要求掌握：Green公式;调和函数的基本性质;调和方程球的Dirichlet问题的积分公式;Green函数;Laplace方程Dirichlet问题解的Green函数表示;Poisson方程的导出;Poisson方程Green问题的积分公式。

六、定解问题的适定性

要求掌握：适定性的定义和反向问题的不适定性。

第二部分 复变函数

一、复数与复变函数

理解复数、区域、单连通区域、多连通区域、约当曲线、光滑(逐段光滑)曲线、无穷远点、扩充复平面等概念;理解复数的性质，掌握复数的运算，理解复数的模和辐角的性质;理解并掌握复变函数极限与连续性的概念与性质。

二、解析函数

理解解析函数的定义、性质及其充分必要条件;了解函数在一点解析与函数在一点可微的区别，熟练掌握利用Cauchy-Riemann条件判别解析函数的方法;掌握指数函数、三角函数的定义和性质，注意与实指数函数、实三角函数的区别;了解初等多值函数单值化方法(限制辐角或割破平面);熟练掌握解析函数在单叶性区域内由初值确定终值;理解反三角函数、一般幂函数、一般指数函数的定义与计算。

三、复变函数的积分

理解复积分的概念、性质，掌握复积分的计算方法;理解Cauchy积分定理，熟练掌握利用Cauchy积分定理计算函数沿闭曲线的积分;理解Cauchy积分定理的推广;理解Cauchy积分公式、高阶导数公式，熟练掌握利用Cauchy积分公式、高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分;了解解析函数的无穷可微性;了解Cauchy不等式与Liouville定理，掌握其证明方法;掌握利用Morera定理判断解析函数的方法;熟练掌握已知解析函数的实部(或虚部)，求该解析函数的方法。

四、解析函数的幂级数表示法

了解复级数的基本概念;掌握复变函数项级数的收敛、一致收敛、内闭一致收敛的定义及判别方法;理解解析函数项级数的和函数的性质;理解幂级数的敛散性;理解收敛圆、收敛半径的概念;了解幂级数和的解析性;理解解析函数的幂级数表示;熟练掌握一些初等函数的泰勒展式;了解幂级数的和函数在收敛圆周上的奇点的存在性;理解解析函数的零点孤立性、唯一性定理、最大模原理。

五、解析函数的Laurent展式与孤立奇点

了解双边幂级数的有关概念;了解Laurent定理，熟练掌握将解析函数分别在指定圆环和孤立奇点去心邻域内展成Laurent级数的方法;了解Laurent级数与Taylor级数的关系;理解孤立奇点的概念，掌握判断孤立奇点类型的方法;了解解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质;掌握解析函数在无穷远点的性质;了解整函数与亚纯函数的概念。

六、 留数理论及其应用

理解留数的定义，熟练掌握留数的求法;理解留数定理，掌握利用Cauchy留数定理计算函数沿闭曲线的积分;熟练掌握用留数定理计算实积分;了解对数留数的概念;理解辐角原理、Rouche定理，熟练掌握求解析函数在指定区域内的零点个数的方法。

七、共形映射

了解解析变换的特性(保域性、保角性、共形性);理解分式线性变换的映射性质，掌握将区域D共形映射为区域G 的分式线形变换;了解幂函数、指数函数、根式函数、对数函数的映射性质，掌握它们所构成的共形映射。